Activité "Théorème du nid d'abeille"
DISPONIBLENous connaissons tous les abeilles, ces merveilleux insectes sociaux qui vivent dans des ruches et produisent du miel. Et qui n'a jamais admiré les rayons de leurs ruches, faits d’alvéoles hexagonales ? Mais savez-vous pourquoi les abeilles ont choisi cette forme hexagonale ? Parce qu’elles sont des expertes en mathématiques et utilisent depuis des millions d’années le fameux Théorème du Nid d’Abeilles. Ce théorème affirme que parmi toutes les formes de même aire qui peuvent paver un plan, celle qui a le plus petit périmètre est l’hexagone. Venez explorer le génie mathématique des abeilles et plongez dans l’univers fascinant de la géométrie !
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Type d'activité
Atelier
Nature
débranchée
Activité en ligne ?
Non
Notions abordées
Aire, périmètre, pavage, polygone.
Thématiques
Applications aux SVT, Bioinformatique,
Géométrie plane,
Pavages, polyèdres, polytopes
Niveau scolaire
cycle 2, cycle 3, cycle 4, lycée, supérieur
Audience grand public
adultes et enfants
Lieu d'utilisation
intérieur
Contexte d'utilisation
tout contexte
Peut être empruntée ?
Oui
Matériel fourni
Puzzles nid d'abeille.
Effectif
entre 1 et 15
Durée
entre 10 et 30 minutes
Effectif encadrement minimum
1
Ressources nécessaires
aucune
Peut être déplacée ?
Oui
Temps d'installation
10m
Objectifs pédagogiques
- Aborder le mode de vie de certains insectes bâtisseurs et le rôle important de leur nid.
- Mieux comprendre les notions d'aire et périmètre et leurs relations.
- Se familiariser avec la preuve par pavage.
Méthodologie
On aborde la thématique des nids des insectes, (à moins que cela n'ai été fait précédemment) : quels insectes font des nids, pourquoi,...
Le but est ensuite d'expliquer pourquoi les nids d'abeilles et autres insectes ont des cellules hexagonales. En fait c'est ce qui permet de minimiser la quantité de parois à bâtir (et donc d'énergie consacrée) pour une contenance donnée. Cela permet donc aux insectes de minimiser le temps et les efforts de construction afin de s'adonner à d'autres tâches, notamment la recherche et l'accumulation de nourriture pour passer l'hiver. Dans la nature, en moyenne, environ la moitié des nouveaux essaims ne passent pas le premier hiver.
Le fait que les hexagones permettent de minimiser la quantité de parois est connu en mathématique sous le nom de théorème du nid d'abeilles. Celui-ci affirme que de toutes les formes qui permettent de paver le plan, celle qui a le plus petit périmètre pour une surface donnée est l'hexagone.
L'idée de cette activité consiste à comprendre ce théorème dans le cas particulier des polygones réguliers. C'est l'occasion de réviser les noms des polygones : triangle, quadrilatère, pentagones, hexagones, …. Puis des polygones réguliers (côté de même longueur et angles égaux) ; triangle équilatéral, carrée, hexagones réguliers, … On dit alors que les seuls polygones réguliers avec lesquels on peut paver le plan sont les triangles équilatéraux, les carrés et les hexagones, ….
On dispose d'un puzzle sur lequel sont dessinés un triangle équilatéral, un carré et un hexagone régulier. Ceux-ci représentent les formes possibles de cellules du nid.
Leur surface correspond donc à la quantité de miel qu'une abeille peut mettre dans une cellule.
Le puzzle dispose de deux jeux de pièces ; un premier qui permet de former (= paver) le triangle équilatéral et l'hexagone régulier, et un deuxième qui permet de former le carré et l'hexagone régulier.On montre ainsi que le triangle équilatéral et le carré ont tous deux la même surface que l'hexagone régulier. Autrement dit, on peut mettre autant de miel dans chacune des trois cellules.
Le périmètre de chaque cellule correspond à la longueur de mur en cire que l'abeille va devoir faire. Plus le périmètre est petit, moins il sera couteux de construire la cellule. Les visiteurs sont invités à émettre des hypothèses sur les périmètres des trois figures. Sont-ils tous égaux ? Ou y'en-a-t-il un plus petit que les autres ? Si oui lequel ? Il est important de rappeler qu'émettre des hypothèses est essentiel en sciences. Et qu'il est important d'en faire même si elles s'avèrent fausses par la suite. La démarche scientifique consiste ensuite à tester les hypothèses et à écarter les fausses. Faire une hypothèse fausse n'est pas une erreur, bien au contraire. Les scientifiques font cela en permanence (99% du temps). L'erreur consisterait en revanche à ne pas écarter une hypothèse qui est invalidée par l'expérience. C'est pour cela qu'on ne parle pas des hypothèses fausses.
A l'aide de cordelettes les visiteurs peuvent ensuite mesurer les périmètres des trois figures et confronter leurs hypothèses au résultat. Ils constatent que l'hexagone a le plus petit périmètre.
Ils peuvent ensuite construire les puzzles évoqués ci-dessus pour bien vérifier que les formes ont toute la même surface.
On peut terminer en disant que si les abeilles ``utilisent'' ce théorème depuis 100 millions d'années. Pour les polygones réguliers, c'est connu depuis 2500 ans, mais il n 'a été prouvé qu'en 1943 par F. Toth pour les polygones quelconques, et qu'en 1999 par T. C. Hales. pour la version générale pour des pièces avec des formes aux côtés courbes.
Groupe de travail
GT-03 - Jeux
Contacts
Frédéric HAVET
(frederic<dot>havet@i3s<dot>unice<dot>fr)
Incluse dans les parcours
Informations complémentaires
Documents joints